Фамилия Козельских стоит в ряду так называемых «полуотчеств» на -их/-ых, характерных для северных, сибирских и некоторых центральных областей России. В отличие от привычных -ов/-ев или -ин, эта модель указывала не на сына конкретного человека, а на принадлежность к целому роду или семье: Козельских — значит «из семьи Козельских». Такие фамилии часто закреплялись за крестьянами и мещанами, не имевшими наследственного дворянского титула, и до XIX века могли менять окончание в зависимости от говора.

Основа фамилии — топоним Козельск. Это древний город в Калужской области, известный с 1146 года и прославившийся героической обороной от войск Батыя в 1238 году. Житель Козельска в старорусских документах назывался «козельский», а в родительном падеже множественного числа — «козельских». Прозвище или фамилия по месту прежнего жительства — один из самых распространённых способов именования: переселенец из Козельска в другой уезд или губернию получал прозвание Козельский, а его потомки, обжившись на новом месте, становились Козельскими или Козельских.

Версия о происхождении от прозвища «Козёл» или «Козелок» маловероятна для формы на -ских. Такая основа дала бы фамилии Козлов, Козельцев или Козлихин, но не Козельских. Суффикс -ск- в русских фамилиях почти всегда указывает на географическую или административную привязку, поэтому связь с городом Козельском — наиболее прямая и лингвистически обоснованная.

Встречаются и редкие варианты написания — Козельский, Козельская, но форма «Козельских» закрепилась именно в тех регионах, где преобладали фамилии на -их/-ых: Архангельская, Вологодская, Вятская, Пермская губернии. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни не в самом Козельске, а в переселенческих потоках из Калужской земли на Север и Урал в XVII–XVIII веках.