Фамилия Крикливоя — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а яркая, почти звукоподражательная характеристика человека. Это отчество от прозвища Крикливый, которое в старину давали не просто крикуну, а человеку с громким, резким голосом, возможно, забияке или тому, кто постоянно жаловался и «кричал» на весь мир. В русских говорах слово «крикливый» имело и более узкое значение — так могли назвать плаксивого ребёнка или сварливую женщину.

Обратите внимание на окончание -ая, которое сразу выдает «географический» след фамилии. В центральной России и на севере преобладают фамилии на -ов/-ев и -ин, а форма на -ая (Крикливый → Крикливоя) — это типичная «ярославская» или «северодвинская» модель, где фамилия склоняется как прилагательное и отвечает на вопрос «чья?». Такие фамилии часто встречались в среде крестьян и мещан Ярославской, Вологодской, Архангельской губерний. В документах XVII-XVIII веков прозвище Крикливый фиксируется нередко, но вот фамилия Крикливоя — большая редкость.

Словообразовательная модель проста: суффикс -лив- указывает на склонность к действию (сравните: «говорливый», «хвастливый»), а окончание -ая — на принадлежность к роду. Фактически, Крикливоя — это «жена или вдова Крикливого» или «дочь Крикливого». Со временем фамилия закрепилась за потомками независимо от пола. В современном мире носителей этой фамилии крайне мало, и встретить её можно в основном на Русском Севере и в Поволжье.

Спорных версий здесь почти нет. Прозвище Крикливый — прямое, не требующее сложной расшифровки. Однако стоит упомянуть, что в некоторых говорах «криком» называли не только громкий голос, но и особый вид плача на похоронах (причитания) — так что предок мог быть и профессиональным плакальщиком. Но это лишь предположение: большинство ономастов (например, в работах В. А. Никонова) сходятся на том, что основа — просто характеристика темперамента.