Фамилия Кривобатова — женская форма от Кривобатов, и её разбор сразу даёт ответ на главный вопрос: перед нами прозвище, сложенное из двух корней. Первая часть — «кривой» в старом значении «одноглазый», «хромой» или просто «непрямой». Вторая — «бат», слово с запутанной историей. Тут и кроется главная сложность.

Вероятнее всего, «бат» — это диалектный вариант слова «батя» (отец). Тогда Кривобат — человек, чей отец был кривым, или же прозвище самого отца, данное по физическому недостатку. Такая модель образования — «кривой» + родственная связь — встречается в фамилиях Кривошеев, Кривоногов, но с заменой части тела на «батю» выглядит нестандартно. Менее правдоподобная, но возможная версия: «бат» — это усечённая форма от «батага» (палка, дубина) или от тюркского «батыр» (богатырь). В первом случае Кривобат — обладатель кривой дубины, во втором — «кривой богатырь», что звучит как ироничное прозвище.

Суффикс -ов- указывает на типичную русскую модель: сын Кривобата стал Кривобатовым. Фамилия довольно редкая, географически привязана в основном к центральным и южным регионам России, встречается в документах XVII–XVIII веков среди крестьян и однодворцев. В словаре Веселовского или Унбегауна она не выделена отдельно, но по словообразованию близка к фамилиям вроде Кривоногов или Кривошеин.

Если отбросить экзотику, самое простое и надёжное объяснение: предок носителя фамилии был либо кривым отцом семейства, либо сыном такого отца. Никакой тайны, только бытовая меткость народного прозвища.