Фамилия Крутицкий (с двумя «й» на конце — редкий орфографический вариант, скорее всего, следствие дореволюционного написания «Крутицкій» или просто описки в паспорте) имеет прозрачную географическую основу. Она образована от топонима — названия населённого пункта Крутицы или урочища Крутик. Таких мест в России десятки: от подмосковного Крутицкого подворья до деревень в Архангельской, Вологодской, Новгородской областях. В основе всех этих названий лежит прилагательное «крутой» — в значении «обрывистый, отвесный, расположенный на крутом берегу или склоне». Человек, получивший фамилию Крутицкий, скорее всего, был выходцем из одного из таких мест — либо владельцем поместья, либо крестьянином, переехавшим в другой уезд и записанным по месту прежнего жительства.

Суффикс -ск- в этой фамилии указывает на принадлежность к географическому объекту. Это типичная модель для русских дворянских и духовных фамилий XVIII–XIX веков, но она же активно использовалась и при записи крестьян в метрические книги: «Иван Петров сын Крутицкий» означало «Иван из Крутиц». В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от личных имён или прозвищ отца, фамилии на -ский в массе своей связаны с местом происхождения. Поэтому версия о том, что фамилия могла произойти от прозвища «Крутик» (человек с крутым нравом), менее правдоподобна: для таких случаев характерен суффикс -ов (Крутиков), а не -ский.

Написание с удвоенной «й» («Крутицкийй») — аномалия, которая встречается в документах XIX — начала XX века. В дореформенной орфографии фамилия писалась как «Крутицкій» (с «i» и «й» на конце), и при переходе на современную графику иногда механически приписывали лишнюю букву, особенно в церковных записях или при переписывании от руки. Если вы носите именно такой вариант, это не меняет ни значения, ни происхождения фамилии — это просто архаичная или ошибочная фиксация на письме. В наши дни нормативным считается написание «Крутицкий» (с одним «й»), но в любом случае корень и история остаются теми же.