Фамилия Крючкоа — редкий случай, когда ошибка на письме создала новую форму. Правильное и историческое написание — Крючков, через букву В. Вариант «Крючкоа» возникает из-за того, что в русских фамилиях окончание -ов в безударной позиции звучит как [-аф], и при записи на слух (особенно в документах начала XX века, когда многие крестьяне были малограмотны) букву «в» могли заменить на «а». Так появился дубль: Крючков и Крючкоа. Это одна и та же фамилия, различающаяся только орфографией.

Основа фамилии — прозвище Крючок. В русских говорах так называли не только маленький крюк, но и человека: придирчивого, цепкого, того, кто «зацепляется» к мелочам, или, напротив, ловкого, умеющего «зацепить» удачу. В словаре В. Даля «крючок» — также «крючкотвор», сутяга, чиновник-взяточник, который намеренно запутывает дело. В северных и сибирских говорах «крючок» мог означать коренастого, приземистого человека.

Фамилия образована по стандартной русской модели: прозвище на -ок (Крючок) + притяжательный суффикс -ов (чей? — Крючков). Первоначально это было отчество: «сын Крючка». Со временем отчество закрепилось как наследственная фамилия. Поскольку суффикс -ок в прозвищах был очень распространён (ср. Борода — Бородок, Нос — Носок, Глаз — Глазок), фамилия Крючков (и её вариант Крючкоа) не уникальна, но и не слишком частотна.

В отличие от фамилий на -ин (Пушкин, Репин), модель на -ов/-ев типична для основной массы русского населения: крестьян, мещан, духовенства. Поэтому предки носителей фамилии Крючкоа, скорее всего, были людьми из податных сословий — крестьянами или посадскими. Прозвище Крючок могло закрепиться за писарем, сборщиком податей или просто за человеком с цепким, неуступчивым характером. Географически фамилия тяготеет к центральным и северным регионам России, где диалектное слово «крючок» в значении «придира» было особенно употребительно.

Итог: если ваша фамилия записана как Крючкоа, знайте, что это тот же Крючков, но зафиксированный «на слух». Корень у неё прозрачный — прозвище, данное по характеру или роду занятий.