Фамилия Кукля нечастая, и её происхождение не лежит на поверхности. Если отбросить гадательные версии, остаётся два объяснения, и оба имеют под собой реальную основу.

Первая версия — профессиональная. В «Толковом словаре живого великорусского языка» В. И. Даля зафиксировано слово «кукля»: это накидка, колпак, пришитый к вороту одежды. Человек, носивший прозвище Кукля, мог быть портным или мастером, который шил такую верхнюю одежду. Прозвища по ремеслу — один из самых распространённых источников русских фамилий, и здесь модель простая: ремесло → прозвище → фамилия.

Вторая версия — топонимическая. На Волыни, в современной Украине, есть село Кукли. Выходца оттуда могли прозвать Куклей, а затем это прозвище закрепилось как фамилия. Такая модель тоже типична: человека называли по месту, откуда он пришёл, особенно если село было небольшим и имя собственное легко переходило в прозвище.

Обе версии правдоподобны, и выбрать одну без дополнительных данных трудно. Суффикс в фамилии отсутствует — это так называемая «чистая» основа, без оформления типичными русскими суффиксами -ов, -ев, -ин. Такая форма чаще встречается на западе и юге России, а также в Беларуси и Украине, где фамилии нередко сохраняют исходное прозвище без изменений.

В документах Кукля встречается редко, но не единично. В Книге памяти Самарской области упомянут Пётр Федосеевич Кукля, родившийся в 1914 году в Днепропетровске, и Станислав Францевич Кукля, родившийся в 1940 году в Архангельской области. Разброс географии — от Украины до русского Севера — говорит о том, что фамилия не привязана к одному региону, а её носители могли появляться в разных местах независимо.

Однокоренных фамилий в русском языке немного: Куклин, Куклев. Они образованы от той же основы, но с разными суффиксами. Если ваша фамилия Кукля, скорее всего, предки либо шили одежду, либо жили в украинском селе с таким названием — и второе не менее вероятно, чем первое.