Фамилия Курильских — редкий случай, когда географическое название стало фамилией не по месту жительства, а по прозвищу. Вопреки первому впечатлению, она вряд ли напрямую связана с Курильскими островами: в центральной России, где эта фамилия встречается чаще всего, об островах узнали лишь в XVIII веке, а фамилии крестьян и служилых людей сложились раньше.

Скорее всего, в основе лежит прозвище Курила или Курильский, данное человеку из местности с похожим названием. В русской топонимике «Курилы» — это не только острова. В Ярославской, Костромской и Вологодской областях есть несколько деревень с корнем «кур-» (от «курить» — дымить, жечь). Там могли жечь уголь, выжигать лес под пашню или курить смолу — такой промысел называли «курением». Жителя такой деревни или человека, занятого дымным ремеслом, и прозвали Курилой или Курильским.

Форма на «-их» — Курильских — типична для северных и сибирских говоров. Она отвечает на вопрос «чей?» и означает принадлежность к роду: «из семьи Курильских». Такие фамилии закрепились в XVI–XVII веках у крестьян и посадских людей, особенно в Вятке, Перми и Архангельской губернии. Если ваш предок носил фамилию Курильских, он с высокой вероятностью был государственным или монастырским крестьянином из северорусских земель, где ценили не отчество, а родовое прозвище.

Есть и более прозаичная версия: Курила — это уменьшительная форма от имени Кирилл (в народном произношении «Курила»). Тогда фамилия Курильских — патроним, то есть «потомок Курилы». Но суффикс «-ских» для прямого отчества нехарактерен, поэтому версия с прозвищем от места или занятия выглядит убедительнее.