Фамилия Курий происходит от прозвища Курий. В его основе, скорее всего, лежит существительное «кура» — то есть курица. Такое прозвище мог получить человек, занимавшийся разведением домашней птицы. Это одна из версий, и она вполне логична: в русских говорах «кура» — распространённое название курицы, а прозвища по роду занятий давали часто.

Есть и другая гипотеза, которая связывает прозвище Курий с глаголом «курить». В словаре Владимира Даля этот глагол трактуется в том числе как «прокудить, проказить», то есть озорничать, шалить. Если исходить из этого значения, то родоначальник фамилии мог быть человеком весёлым и проказливым.

Фамилия образована с помощью типичного для русских фамилий суффикса -ий. Такая модель встречается реже, чем фамилии на -ов или -ин, но тоже устойчива: она характерна для прозвищных фамилий, где основа оканчивается на мягкий согласный. По сути, Курий — это «сын того, кого звали Курий», а само прозвище уже застыло в форме прилагательного.

Обе версии имеют право на существование, но первая — «птицеводческая» — выглядит более прямой и очевидной. Вторая, с глаголом «курить», менее прозрачна для современного носителя языка, но тоже не лишена оснований. Выбор между ними зависит от того, какой смысл вкладывали в прозвище конкретные люди в конкретной местности.

Фамилия Курий встречается в украинских и южнорусских землях, где слово «кура» было в ходу. В польском языке есть аналогичное слово kura с тем же значением, так что возможна и западнославянская параллель. В целом фамилия редкая, но её носители живут в разных регионах бывшей Российской империи.