Фамилия Курячяий — редкий и, скорее всего, искажённый на письме вариант. В русской ономастике нет устойчивой фамилии с таким окончанием. С высокой вероятностью это либо опечатка, либо диалектное или канцелярское искажение более распространённой фамилии Курячий (с окончанием -ий). Встречаются также формы Курячев, Курячков, Курякин.

Если мы имеем дело с исходной формой Курячий, то её основа — прилагательное «курячий», то есть «куриный». В русских говорах слово «куря» означало «курица». Прозвище Курячий мог получить человек, державший много кур, торговавший ими или чем-то напоминавший эту птицу — например, суетливостью или внешностью. В старину прозвища от названий домашней птицы были обычны: Гусь, Петух, Цыплёнок. Суффикс -ий в данном случае указывает на признак: «чей?» — курячий, то есть принадлежащий курице или связанный с ней.

Модель образования проста: прозвище Курячий со временем закрепилось как фамилия без дополнительных суффиксов, что характерно для прозвищных фамилий южнорусских и украинских земель. Географически фамилия Курячий (и её варианты) чаще встречается в Курской, Белгородской, Воронежской областях и на Украине.

Спорных версий немного. Иногда пытаются связать корень с глаголом «курить» или словом «куря» в значении «дым», но это маловероятно: фонетически и семантически «курячий» прочно стоит в ряду «курица — курятник — курятина». Словарь русских фамилий (например, работы Б. Унбегауна) относит подобные формы к группе «птичьих» прозвищ.

Если ваша фамилия записана именно как Курячяий — с двумя «я» и лишней буквой — скорее всего, это ошибка переписчика или паспортиста начала XX века. В таком случае стоит искать корни в варианте Курячий или Курячев.