Фамилия Кутая — редкий случай, где корень считывается интуитивно, но суффикс ставит в тупик. Сразу ясно, что в основе лежит глагол «кутать» (заворачивать, укутывать). Но почему окончание не «ин» или «ов», а открытое «ая»?

Ответ в словообразовательной модели. Фамилия Кутая образована не от отчества, а от полного прилагательного. В русской ономастике это типично для прозвищ или «уличных» фамилий, которые закреплялись за человеком без патронимического суффикса. В говорах так могли назвать того, кто ходил постоянно закутанным, зябким, или, наоборот, того, кто кутал других — например, мать, кутавшую детей, или работника, упаковывавшего товар. Флексия «ая» (женского рода) указывает, что фамилия застыла в форме женского прилагательного, что встречается в южнорусских и украинских регионах, где такие модели обычны: Кривая, Хромая, Кутая.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В ряде говоров «кутый» означало не только «укутанный», но и «короткий, обрубленный» (сравните с украинским «куций»). Тогда прозвище Кутая могло относиться к человеку с короткой рукой, ногой или просто низкорослому. В этом случае фамилия — меткая характеристика внешности, а не привычки одеваться.

География фамилии размыта, но чаще всего Кутая встречается в документах по Краснодарскому краю, Ростовской области и Украине. Это подкрепляет версию о южнорусском или малороссийском происхождении. В центральных и северных областях России такую форму почти не фиксируют: там предпочли бы Кутаев или Кутагин.

Таким образом, предок носителя фамилии Кутая — либо человек, которого в деревне прозвали за манеру кутаться, либо обладатель броской приметы (короткая конечность). Оба варианта правдоподобны, и точный выбор зависит от того, в какой местности жила семья. Фамилия недворянская, не книжная — она вышла из живой речи, из бытового прозвища, которое приклеилось и пережило века.