Фамилия Кутняшова — женская форма фамилии Кутняшов, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса, потому что он необычен для русского ономастикона. Формант -аш- (как в фамилиях Кутряшов, Ковшов) встречается реже, чем стандартные -ов/-ев или -ин, и чаще всего указывает на прозвищное происхождение, где основа была переделана для благозвучия или под влиянием местного говора.

Основа фамилии — «кутня» или «кутняш». В русских говорах слово «кутня» имело два основных значения. Первое, более распространённое: кутня — это небольшой закуток, угол в избе или хлеву, от «кут» (угол). Прозвище Кутня могли дать человеку, который жил в тесном помещении, занимал отгороженное место, или же тому, кто работал в углу — например, портному или сапожнику, сидевшему в «кутке». Второе значение, диалектное (в рязанских и тамбовских говорах), — «кутня» означала нечто мятое, скомканное, неопрятное. В этом случае прозвище Кутня могло относиться к неряшливому человеку или к тому, кто мял, комкал что-то (например, кожу или ткань).

Суффикс -аш- в фамилии Кутняшов выполняет роль усилителя или модификатора: от «кутня» образовали «кутняш» — возможно, так называли сына или ученика Кутни, либо просто более экспрессивную форму того же прозвища. Притяжательный суффикс -ов завершает образование: Кутняшов буквально означает «сын Кутняша» или «принадлежащий Кутняшу».

Географически фамилия тяготеет к центральным и южнорусским областям — Рязанской, Тамбовской, Воронежской, где слово «кутня» было в ходу. В северных говорах и в Сибири эта лексема почти не встречается, что делает фамилию хорошим маркером происхождения предков из чернозёмной полосы России.

Сословно Кутняшовы, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками. Фамилия не дворянская, не духовная — она образована от бытового, «деревенского» прозвища, которое не несёт книжного или служивого оттенка. В документах XVII–XVIII веков подобные прозвища часто фиксировались как вторые имена, а в фамилию превратились уже после отмены крепостного права, в ходе массового закрепления фамилий за бывшими крепостными.

В написании встречаются варианты Кутняшев (с мягким знаком) и даже Кутяшов, но форма с «н» — основная и этимологически верная. Если в вашем роду фамилия пишется через «е» (Кутняшева), это может быть следствием местного аканья или ошибки писаря, который на слух записал «Кутняшов» как «Кутняшев».