Фамилия Куцай — редкий образец прозвищной фамилии, сохранившей исходную форму без патронимического суффикса. Её основа напрямую связана с прилагательным «куцый» — короткий, обрубленный, недостаточный. В старину Куцаем могли прозвать коренастого человека маленького роста: прозвище давали по внешнему признаку, как бы говоря, что человек «не дорос» или «не вышел ростом». Однако есть и вторая версия, менее очевидная: фамилия Куцай образована от нарицательного «куц» — так в старину называли немецкий фрак. В этом случае прозвище мог получить либо портной, шивший такую одежду, либо щеголь, носивший «куцый» фрак, который в глазах крестьян выглядел странно и нелепо по сравнению с длиннополой русской одеждой.

Словообразовательная модель тоже заслуживает внимания. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий на -ов, -ев или -ин, Куцай — это «застывшее» прозвище в чистом виде, без суффикса принадлежности. Такие фамилии чаще встречаются на Украине и в южнорусских регионах, где была сильна традиция передавать прозвище без изменений. Поэтому географически фамилия Куцай тяготеет к украинским и южнорусским областям, хотя отдельные носители встречаются и в центральной России.

Филолог Б. Унбегаун в своём труде о русских фамилиях не выделяет Куцай в отдельную статью, но относит подобные образования к группе прозвищ от прилагательных, характеризующих физические качества. В словаре В. Даля «куцый» описывается как «короткохвостый», «неполный», что лишний раз подтверждает: прозвище давали человеку, которому чего-то не хватало — роста, длины одежды или даже хвоста (в переносном смысле).

Сравнение с однокоренными фамилиями — Куц, Куценко, Куцын — показывает, что Куцай стоит особняком. Если Куценко — явный украинский патроним («сын Куца»), а Куцын — русская форма с суффиксом -ин, то Куцай остаётся исходным прозвищем. Это редкий случай, когда фамилия не обросла типичными окончаниями, и по ней можно восстановить, как именно звучало прозвище предка.