Фамилия Кутыева — женская форма мужской фамилии Кутыев, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Кутый. В основе лежит тюркское слово «кут» — «душа, жизненная сила, счастье, благодать». В тюркской ономастике «Кут» и его производные (Кутуш, Кутлы, Кутлуг) были распространены как личные имена-пожелания: родители надеялись, что ребенок будет удачливым и благословенным. Суффикс -ый/-ев типичен для русской модели адаптации тюркских имен: он превращает иноязычную основу в притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чей?». Кутыев — буквально «сын (или потомок) Кутыя».

Есть и вторая, менее вероятная версия: связь с диалектным глаголом «кутать» или существительным «кут» — «угол, тупик, укрытие». В этом случае Кутый могло быть прозвищем человека, который жил в глухом месте, или того, кто постоянно кутался в одежду. Однако тюркское происхождение выглядит убедительнее: фамилия распространена в Поволжье и на Урале, где веками жили татары, башкиры и другие тюркские народы. Среди русских Кутыевых также много — это следствие смешанных браков и добровольного перехода в православие, при котором тюркское имя лишь русифицировали окончанием.

С точки зрения словообразования, фамилия редкая: суффикс -ев присоединен к основе, оканчивающейся на -ый, что встречается нечасто. Ближайшие аналоги — Кутуев, Кутепов, Кутузов — все они восходят к тому же корню «кут». Если ваши предки носили фамилию Кутыева, скорее всего, они происходили из среды служилых татар или крестьян-старообрядцев Заволжья, где такие именования фиксируются с XVII века.