Фамилия Кутыр — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Скорее всего, она прозвищная, и корень здесь не в глаголе «кутить» (хоть это и первое, что приходит в голову), а в диалектном слове «кутырь» или «кутыр». В южнорусских и украинских говорах так называли пузо, живот, а иногда — толстого, пузатого человека. Прозвище Кутырь, от которого и пошла фамилия, могли дать упитанному, дородному мужчине. В этом случае фамилия буквально означает «сын Кутыря» и входит в обширный пласт русских фамилий, описывающих внешность предка (ср. Пузанов, Брюханов, Толстопятов).

Фамилия образована по типичной для русских фамилий «нулевой» модели: прозвище Кутыр стало фамилией без добавления суффикса. Такое оформление характерно для украинской и южнорусской традиции, где фамилии на согласный (Кулиш, Коваль, Кутыр) не редкость. Встречается и вариант Кутырев, с суффиксом -ев, который более привычен для северных и центральных областей России. Это говорит о том, что носители фамилии могли мигрировать, и их прозвище «обрусело» грамматически.

Существует и менее очевидная версия: от тюркского слова «кутыр» (кутырмак — радоваться, ликовать) или от имени Кутыр, которое встречается у татар и башкир. В таком случае фамилия могла принадлежать человеку с восточными корнями, принявшему православие. Однако для русского уха эта версия менее правдоподобна: прозвище по внешности — самый частый и естественный путь появления таких фамилий.

В дореволюционных источниках фамилия Кутыр встречается эпизодически, преимущественно на территории бывшей Курской, Воронежской губерний и в Малороссии. Это подтверждает диалектную, южную природу прозвища. Никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — это фамилия крестьянская или мещанская.

Сегодня фамилия остаётся редкой. Её носители могут с равной вероятностью оказаться потомками пузатого крестьянина из-под Курска или выходцами из украинских казацких хуторов. Точный ответ дал бы только глубокий генеалогический поиск по конкретному региону.