Фамилия Кутюгина — женская форма, а мужская, Кутюгин, встречается чаще. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать основу «Кутюг-». Сразу бросается в глаза, что это нестандартная модель: в русских фамилиях редко встречается суффикс -юг-, который скорее свойствен северным говорам и некоторым финно-угорским заимствованиям.

Самая вероятная версия — прозвище Кутюга. В диалектах русского Севера (архангельские, вологодские говоры) «кутюга» или «кутюжка» означало нечто маленькое, короткое, куцее. Так могли прозвать невысокого человека, либо того, кто носил короткую, не по росту одежду. Слово родственно «куцый» — бесхвостый, обрубленный. Если предок был небольшого роста или ходил в полушубке, который называли «куцейкой», прозвище Кутюга закрепилось бы легко.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В тех же северных краях «кут» — угол, а «кутюга» могла быть уменьшительным названием для того, кто жил в углу, на отшибе, или работал в углу (например, в кузнице). Но это предположение слабее, так как суффикс -юг- в этом значении не типичен. Скорее всего, перед нами именно диалектное прозвище по внешности или одежде.

Фамилия редкая и явно локальная. Основной ареал — Вологодская и Кировская области, а также Удмуртия, куда переселенцы с севера принесли говор. В центральных и южных регионах России она почти не встречается. Это подсказывает, что предки Кутюгиных были, скорее всего, государственными или черносошными крестьянами, а не дворянами — фамилии с диалектной основой редко попадали в родословные книги.

Интересно, что в некоторых переписях XIX века фамилию записывали как «Кутюгин» через «о» — «Котюгин». Это не ошибка, а следствие аканья в северных говорах, где «о» в безударном положении произносится как «а». Поэтому при поиске предков стоит проверять оба варианта написания.