Фамилия Кутькина образована от прозвища Кутька, и у этого прозвища есть как минимум два объяснения. Первое и самое прямое связано со словом «кутька» — в словаре В. И. Даля так называют щенка или маленькую собачонку. Прозвище могли дать человеку невысокого роста, худощавому, либо обладателю тонкого, «тявкающего» голоса. В народе такое слово могло относиться и к говорливому, бойкому на язык ребёнку — эта версия тоже встречается.

Вторая гипотеза выводит прозвище из украинской кухни: кутька — постное блюдо, которое готовили на поминки или на Рождество. Если так, то прозвище могло указывать на профессию повара или на человека, который занимался приготовлением обрядовой еды. Эта версия менее распространена, но не лишена оснований: прозвища от названий блюд в русской и украинской традиции встречаются, хотя и реже, чем от имён или черт внешности.

Обратите внимание на суффикс -ин. В русской фамильной модели фамилии на -ин (Кутькин, Кутькина) образуются от основ на -а или -я. То есть прозвище Кутька дало фамилию, которая буквально означает «чей?» — «сын Кутьки» или «человек из семьи Кутьки». Такие фамилии типичны для северных и центральных областей России, где -ин преобладает над -ов.

Географически фамилия Кутькина встречается в Поволжье и на юге России, но в целом остаётся редкой. Это не фамилия известного дворянского рода — скорее всего, предки относились к крестьянам или посадским людям, а прозвище закрепилось за ними в XVI–XVII веках, когда шло массовое оформление русских фамилий.

Спор между версиями решается просто: правдоподобнее всего прозвище от «щенка». Оснований для этого больше — слово широко известно в народной речи, а прозвища по внешности или поведению были самой частой причиной закрепления фамилий. Версия с блюдом возможна, но менее типична для русской ономастики.