Фамилия Кваше — редкий случай, когда её звучание почти не изменилось с XVI–XVII веков. В основе лежит прозвище Кваш, а образована фамилия по древнейшей восточнославянской модели — с суффиксом притяжательности -е, который в русском языке встречается несравнимо реже, чем -ов или -ин. Такое окончание типично для украинских, белорусских и южнорусских говоров: оно указывало на принадлежность «чей?» — Кваше значит «сын Кваша» или «человек из рода Кваша».

Корень «квас-/кваш-» связан с процессом брожения. В древнерусском языке «кваша» — это закваска для теста, а также кислое тесто. Прозвище Кваш могли дать по двум причинам. Первая — профессиональная: человек, который квасил тесто, пёк хлеб или варил квас, то есть пекарь или пивовар. Вторая — бытовая, по характеру: «квашнёй» в переносном смысле называли медлительного, вялого человека, который «медленно поднимается, как опара». В ономастике чаще принимают первую версию: прозвища по ремеслу были устойчивее.

Примечательно, что фамилия Кваше встречается не только у славян. В польском языке «kwas» — кислота, и фамилия Kwasek (уменьшительная форма) бытует на востоке Польши. Однако русская форма Кваше с конечным -е, а не -ек, тяготеет к южнорусским областям — Курской, Воронежской, Ростовской губерниям, где суффикс -е в фамилиях сохранялся дольше всего.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель на -е упоминается как одна из древнейших, но для фамилии Кваше нет отдельной статьи — это говорит о её редкости. В переписных книгах XVII века встречаются крестьяне с прозвищем Кваш (например, в Воронежском уезде), но фамилия в современном написании закрепилась позже, уже после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам отцов.

Если ваши предки носили фамилию Кваше, скорее всего, они были хлебопеками, солодовщиками или просто людьми из крестьянской среды юга России, где ремесло квашения и выпечки было делом повседневным. Фамилия не дворянская и не купеческая — она из тех, что «вышли из печи».