Фамилия Квасовский образована по самой распространённой в восточнославянской ономастике модели — с суффиксом -ский, который указывает на принадлежность к месту или роду. В основе лежит слово «квас» — традиционный русский напиток. Однако, в отличие от фамилий вроде Квасов или Квасников, суффикс -ский здесь неслучаен: он типичен для польской и западнорусской (белорусской, украинской) шляхты. Это значит, что предок Квасовского, скорее всего, был не просто любителем кваса или его продавцом, а владельцем земли или населённого пункта с названием Квасы, Квасово или Квасовка.

Таких топонимов на территории бывшей Речи Посполитой — несколько. Например, село Квасы на Волыни (ныне Украина) или Квасово в Гродненской области Беларуси. Человек, переселившийся из такого места, получал прозвище «Квасовский» — то есть «тот, кто из Квасов». В польской традиции фамилии на -ский были привилегией шляхты, но со временем их перенимали и крестьяне, и мещане, особенно после разделов Польши, когда фамилии стали обязательными для всех сословий.

Менее вероятна, но не исключена версия, что фамилия произошла от прозвища Квас — так могли называть человека, который варил или продавал квас. Но в таком случае в русском языке обычнее было бы окончание -ов (Квасов). Суффикс -ский заставляет склоняться к географическому происхождению. Встречается и вариант написания через «а» — Кавасовский, но он редок и может быть результатом окающего произношения или ошибки в документах.

В дореволюционных источниках фамилия фиксируется в основном в западных губерниях Российской империи — Минской, Волынской, Подольской, а также среди польской шляхты. Носители могли быть как православными, так и католиками, что характерно для пограничья культур. Сегодня Квасовские встречаются в России, Украине, Беларуси и Польше, но массовой фамилией её не назовёшь — она остаётся довольно редкой, что только усиливает её связь с конкретным родовым гнездом.