Фамилия Квассникова — женская форма фамилии Квассников, и чтобы понять её происхождение, нужно разобраться с мужским вариантом. В основе лежит слово «квас», но не в значении напитка, а в профессиональном прозвище. В старину квасником называли человека, который варил квас или торговал им. Это было распространённое ремесло: квас на Руси пили повсеместно, и мастера-квасники были в каждом городе и селе. Прозвище Квасник или Квасников закреплялось за тем, кто этим занимался, а позже перешло в фамилию.

Словообразовательная модель здесь простая: основа «квасник» (человек, связанный с квасом) плюс типичный русский суффикс принадлежности -ов. Суффикс указывает на то, что фамилия образована от имени или прозвища отца: Квасников буквально означал «сын Квасника». Такие фамилии — одни из самых массовых в России, они закрепились в основном у крестьян и мещан после отмены крепостного права, когда людям потребовались официальные фамилии для переписи.

Интересная деталь: в некоторых говорах слово «квасник» имело и другое значение — так называли сосуд для кваса, большую деревянную или глиняную посуду. Вполне возможно, что прозвище дали не по профессии, а по внешнему сходству: полного, круглого человека могли в шутку обозвать Квасником. Но первая версия — профессиональная — выглядит правдоподобнее, потому что ремесло было повсеместным и давало больше поводов для прозвищ.

Фамилия Квасников (и Квассникова) не слишком редкая, но и не сверхраспространённая. Встречается она в основном в центральных и северных регионах России, где квасоварение было особенно развито. Двойное «с» в написании — скорее всего, поздняя орфографическая случайность или описка в документах: исходное слово «квас» пишется с одной «с», и фамилия должна была бы выглядеть как Квасников, но вариант с удвоенной согласной прижился в некоторых семьях. Никакого особого значения это не имеет, просто особенность записи.