Фамилия Квирквая — одна из тех, что сразу указывает на свои мегрельские корни. Она происходит от мегрельского слова «квиркве», что означает «июль». Скорее всего, в основе фамилии лежало личное имя Квирква или Квиркве, которое в традиционной грузинской антропонимии давали ребёнку, родившемуся в этом месяце. Такая модель именования по времени года или календарю встречается во многих культурах, и мегрельская здесь не исключение.

Словообразовательная модель фамилии типична для мегрельского языка. Окончание -ая (в грузинской записи часто передаётся как -ия или -а) — это распространённый фамильный суффикс в Западной Грузии, особенно в Мегрелии. Он выполняет ту же роль, что и русские -ов/-ев или -ин, то есть оформляет фамилию как родовое имя. Таким образом, Квирквая буквально можно понять как «принадлежащий Квиркве» или «из рода Квирква».

Географически фамилия прочно привязана к региону Самегрело (Мегрелия) на западе Грузии. В России и других странах она встречается прежде всего у потомков мегрельских переселенцев или людей, чьи предки носили эту фамилию до миграции. В написании возможны варианты: в грузинском оригинале фамилия выглядит как კვირკვაია, а в русской транскрипции иногда встречается форма Квиркваия, что точнее передаёт звучание окончания.

С точки зрения социальной истории, фамилия не несёт указания на дворянское или крестьянское происхождение — она бытовала в разных слоях мегрельского общества. Единственная версия происхождения — календарная, по месяцу рождения — не вызывает серьёзных споров у ономастов, поскольку является прозрачной и логичной. Альтернативных гипотез, связывающих фамилию с другими корнями, в научной литературе не приводится.