Фамилия Ладукай — редкая и неочевидная по происхождению. Её основа, Ладук- , не встречается в списках распространённых русских имён или прозвищ. Скорее всего, перед нами не славянский, а заимствованный корень. Наиболее правдоподобная версия связывает фамилию с литовским или жемайтским словом ladukas — уменьшительной формой от ladas (лад, согласие, мир). В таком случае прозвище Ладукай могло означать «мирный человек», «добродушный», «уживчивый». Формант -ай — типичный для литовских фамилий суффикс, обозначающий принадлежность или характерный признак (ср. Бразайтис, Кубилюс). На русской почве окончание переоформилось по образцу фамилий на -ай (типа Май, Каратай), которые встречаются в западных областях России, граничащих с Литвой и Беларусью.

Вторая версия, менее вероятная, но тоже имеющая право на существование, — тюркская. В некоторых тюркских языках ладук или ладык может быть искажением слова «ладный», «складный», но убедительных параллелей здесь нет. Скорее всего, фамилия Ладукай — следствие давних балто-славянских контактов на территории Смоленщины, Псковщины или Брянщины, где литовские и латышские корни часто входили в русские фамилии.

Обратите внимание на суффиксальную модель: фамилия не получила типичного русского суффикса -ов или -ин, а сохранила «голую» основу. Это указывает на относительно позднюю фиксацию (XVII–XVIII века), когда фамилии могли записывать со слов носителя, не русифицируя окончание. Сейчас Ладукай — фамилия штучная. В открытых данных её носители встречаются единично, в основном в Центральной России и на Северо-Западе. Если вы ищете корни, стоит проверить метрические книги по Псковской губернии и сопредельным уездам — именно там балтийский след в фамилиях самый плотный.