Фамилия Лагутик — это, скорее всего, уменьшительно-ласкательная форма от имени Лонгин (или Логгин). В основе лежит латинское слово longinus, то есть «длинный». В христианской традиции так звали римского воина, который пронзил копьём бок распятого Иисуса Христа. Имя было не самым частым, но в народе его переиначивали на свой лад: в бытовой речи Лонгин превращался в Логгин, а уменьшительные формы могли звучать как Логута или Лагута. Отсюда и пошёл Лагутик — «маленький Логута» или сын Логуты.

Суффикс -ик здесь указывает на прямое родство: так называли ребёнка или младшего члена семьи. Модель образования типична для западных регионов, особенно для украинских и белорусских земель, где фамилии на -ик, -ук, -чук особенно распространены. В русской традиции чаще встречались бы варианты вроде Лагутин, но форма Лагутик сохранила более архаичный и «домашний» оттенок.

Интересно, что схожие фамилии — Лагута, Лагутенко, Лагутов — имеют ту же основу. Но именно Лагутик выделяется редким суффиксом, который почти не встречается в других фамилиях от этого корня. Если предки носили такую фамилию, они, скорее всего, жили на стыке украинских и белорусских земель, где такие прозвища были в ходу.