Фамилия Лайковская — один из тех случаев, когда внешне прозрачная форма скрывает неожиданное разнообразие возможных корней. Сразу скажем: перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная с помощью суффикса -ск-, который указывает на связь с местностью. В польской, украинской и белорусской традиции такие фамилии чаще всего получали дворяне по названию родового поместья, а в русской — духовенство (семинарские фамилии) или выходцы из сёл, переименованные по месту жительства. Так что первый и самый вероятный путь: предок носителя фамилии был либо помещиком из Лайково, либо крестьянином, переселившимся из деревни с таким названием.

Топоним Лайково встречается в России и Беларуси. Например, деревня Лайково есть в Московской области, а также в Витебской области Беларуси. Название этих поселений, скорее всего, происходит от прозвища или некалендарного имени Лайко. В его основе лежит древнерусский глагол «лаять» — бранить, ругать, а также «лаяться» — ссориться. Лайко могли прозвать крикливого, сварливого человека или того, кто имел привычку громко и резко говорить. В старину это было не столько оскорблением, сколько бытовой характеристикой — фамилии на -ко (Лайко, Кривко, Молчко) в украинской и белорусской среде были распространённой формой личных имён.

Впрочем, есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «лайка» означала породу собак, а «лайко» — щенка или небольшую собаку. В этом случае прозвище могло закрепиться за человеком, который держал охотничьих собак, или за тем, кого сравнивали с лайкой за верность или неуживчивость. Однако эта гипотеза менее надёжна: в ономастике прозвища от названий собак встречаются реже, чем от глагольных характеристик.

Форма Лайковская — женский вариант фамилии. Мужская — Лайковский. Фамилия не слишком распространена, что характерно для «шляхетских» окончаний на -ский, которые в крестьянской среде приживались реже. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит обратить внимание на географию: скорее всего, корни ведут в западные регионы России, Беларусь или Украину, где фамилии на -ский были особенно популярны среди мелкопоместной шляхты и духовенства.