Фамилия Лайковский — достаточно редкий пример, где при разборе сразу возникает несколько возможных корней, и выбор между ними зависит от того, в какой среде и где фамилия появилась. Суффикс -ский указывает на шляхетское или, шире, географическое происхождение: такую форму обычно получали дворяне по названию имения, а в простонародье — переселенцы по названию местности, откуда вышли. Но основа «Лайк-» неочевидна.

Самая прямая версия — топонимическая. В Польше и на западе Украины есть несколько мест с корнем «Лай-»: например, село Лайки (Lajki) в Подляском воеводстве или урочища с похожим названием. Фамилия Лайковский могла закрепиться за человеком, который владел или происходил из такого села. По польской модели образования фамилий на -owski это типично: владелец Лайков становился Лайковским. Следы такой фамилии встречаются в метриках XIX века на территории Царства Польского и Гродненской губернии.

Вторая версия отталкивается от прозвища. В русских говорах «лайка» — не только порода собаки, но и крикливый, сварливый человек, «тот, кто лается». В украинском и белорусском «лайка» или «лайко» — то же значение. Если прозвище Лайко получил человек с громким голосом или склочным характером, то его дети могли стать Лайковскими. Такая модель (прозвище + -ский) характерна для крестьянского сословия, когда фамилию давали по отцу-прозвищу, подгоняя под панский формат.

Третья, менее вероятная, но возможная версия — от имени Лайк как уменьшительной формы редкого календарного имени (например, Галактион — Галактионович — Лаик, Лайк). Однако это спорно: в святцах такого сокращения не зафиксировано.

Встречаемость фамилии Лайковский невысока. Наибольшая плотность — в Польше (в основном на северо-востоке, в районе Сувалок и Белостока) и в Беларуси (Гродненская и Брестская области). В России фамилия редкая, чаще всего у потомков переселенцев из западных губерний. Написание через «й» (Лайковский, а не Лаиковский) закрепилось орфографически, но в польском оригинале может выглядеть как Łajkowski.

Таким образом, если ваш предок был дворянином, скорее всего, фамилия пошла от имения Лайки. Если крестьянином — от прозвища Лайко. Найти точный ответ поможет только географическая привязка по дореволюционным метрикам.