Фамилия Лазаревский образована от имени или от географического названия, и обе версии имеют под собой основания. Разберёмся по порядку.

Основой могло послужить каноническое имя Лазарь, которое пришло из древнегреческого языка и означает «Бог помог». Это имя было широко распространено среди православных, а фамилии на -ский в восточнославянской традиции часто указывали на принадлежность к духовному сословию. Священники и их дети нередко получали фамилии по имени отца или по названию церковного праздника, и «Лазаревский» в этом ряду — типичный семинарский вариант, образованный по модели «Имя + -евский». Унбегаун в своём словаре русских фамилий относит такие формы к характерным для духовенства.

Вторая версия связывает фамилию с топонимом Лазаревское — курортным посёлком, самым северным в Сочи. Если предок Лазаревских происходил из этого населённого пункта, фамилия могла закрепиться за ним или его потомками как указание на место жительства. Однако здесь стоит оговориться: процесс формирования фамилий был длительным, и окончательно утверждать, что корни рода ведут именно к черноморскому побережью, можно лишь после глубоких генеаленических изысканий. Тем более что Лазаревских — немало, и большинство из них, скорее всего, получили фамилию по имени, а не по названию посёлка, который стал известен позже.

Суффикс -ский в этой фамилии не случаен. В отличие от простых патронимов на -ов и -ин, фамилии на -ский в XVII–XIX веках часто носили люди привилегированных сословий: дворяне, духовенство, мещане. Поэтому Лазаревские могли быть не крестьянами, а, скажем, священниками или мелкими помещиками. Встречается эта фамилия и в польской, и в украинской ономастике, что добавляет ещё один слой: на землях Речи Посполитой -ский был типичным шляхетским суффиксом, указывающим на владение землёй (например, от названия имения).

Итог: скорее всего, фамилия Лазаревский восходит к имени Лазарь через семинарскую или шляхетскую модель. Топонимическая версия менее вероятна, но не исключена для отдельных ветвей рода.