Фамилия Лазарский вряд ли связана с именем Лазарь напрямую, хотя это первое, что приходит в голову. В русской и польской традициях фамилии на -ский от имени Лазарь образовывались бы как Лазаревский или Лазарский — но в последнем случае ударение падает на первый слог, а основа не «лазарь», а «лазар». Тут работает другая модель.

Скорее всего, перед нами фамилия польского или западноукраинского происхождения, образованная от названия населённого пункта. В Польше и на западе современной Украины есть несколько мест с корнем Laz-: деревни Лазары, Лазарки, Лазарже. Житель такой деревни получал прозвище Лазарский — «тот, кто из Лазаров». Суффикс -ский в этой модели указывает на географическую привязку, а не на отчество. В XVI–XVII веках такую фамилию могли получить шляхтичи, владевшие землёй в этих местах, или их крестьяне, переехавшие в другой регион и названные по бывшему месту жительства.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: основа «лазар» может быть профессиональным прозвищем. В южнорусских и украинских говорах «лазарь» иногда называли нищего или калеку, который просит милостыню (от евангельского притчи о Лазаре). В этом случае Лазарский — потомок человека с таким прозвищем. Однако суффикс -ский для прозвищного происхождения нехарактерен: обычно прозвища давали фамилии на -ов, -ев, -ин. Поэтому географическая версия убедительнее.

Фамилия редкая. В дореволюционных списках она встречается в Волынской, Гродненской и Киевской губерниях, что подтверждает польско-украинский ареал. После разделов Речи Посполитой фамилия попала в русскую среду, где могла обрусевать без изменения написания.

Интересная деталь: в отличие от фамилии Лазарев, которая массово распространена и однозначно от имени, Лазарский остаётся локальной, штучной фамилией. Если вы носите эту фамилию, ваши предки почти наверняка жили на территории бывшей Речи Посполитой, в районе современных западной Украины или восточной Польши, и фамилия закрепилась за ними по месту жительства, а не по имени.