Фамилия Лазутский — одна из тех, где внешняя прозрачность обманчива. На первый взгляд в ней слышится «лазутчик» (разведчик, шпион), но прямая связь маловероятна: слово «лазутчик» появилось в русском языке поздно (не ранее XVII века) и было книжным, а фамилии на -ский в массе своей закрепились за дворянством и духовенством, которые не брали прозвищ по шпионам. Скорее всего, перед нами топонимическая фамилия: её основа — название населённого пункта Лазуты, Лазутово или Лазутки. Такие названия встречаются в Беларуси и на западе России (например, деревня Лазуты в Витебской области). Житель такой местности получал прозвание Лазутский, а его дети уже носили фамилию.

Суффикс -ск- указывает на происхождение от географического названия — это типичная модель для польской, белорусской и украинской шляхты, а также для русского духовенства, которое часто получало фамилии по сёлам и погостам. Если предки Лазутских были священниками, фамилию могли дать в семинарии по месту службы — от села Лазуты. Если же речь о дворянском роде, то она могла возникнуть от названия имения.

Сама основа «лазут-» родственна слову «лаз» (проход, лазейка) или глаголу «лазить». В диалектах «лазута» — это пронырливый, ловкий человек, тот, кто везде пролезет. Но для фамилии на -ский такое прозвищное происхождение менее характерно: прозвища обычно давали суффиксы -ов, -ин, -их, а не -ский. Поэтому основная версия — географическая. Есть и редкий вариант: фамилия могла быть искусственной, образованной от фамилии Лазовский или Лазутин путём замены суффикса, но это уже частный случай.

Фамилия Лазутский нечастотная, встречается в основном в западных областях России, Беларуси и среди потомков переселенцев в Сибири. В дореволюционных списках её носители — мещане и духовенство, реже дворяне. Если ваши предки Лазутские — скорее всего, они происходят из западнорусских или белорусских земель, а фамилия закрепилась за ними по названию деревни или хутора.