Фамилия Лагутский — одна из тех, где на первый взгляд корень очевиден, а при ближайшем рассмотрении начинаются варианты. Сразу скажем: скорее всего, перед нами прозвищная фамилия, образованная от слова «лагода» или «лагуда» — так в южных и западных русских говорах, а также в украинском и белорусском языках называли ладного, складного человека, умельца, мастера на все руки. Корень здесь тот же, что и в слове «ладить» — приводить в порядок, налаживать. Если предок получил прозвище Лагута (или Лагуда), его потомки стали Лагутскими: суффикс -ский в таких фамилиях обычно указывает на выходца из определённого места или на принадлежность к роду носителя прозвища.

Есть и вторая версия, более географическая. В Беларуси и на Украине встречаются топонимы вроде Лагуты, Лагутово или Лагутск. Человек, переехавший из такой деревни, вполне мог получить фамилию Лагутский — по названию прежнего места жительства. В этом случае фамилия встаёт в один ряд с десятками других на -ский, указывающих на происхождение: Дубровский, Горский, Зарецкий.

Словообразовательная модель здесь не самая частая. Суффикс -ский в русских фамилиях чаще встречается у дворянства и духовенства, но в народной среде он тоже бытовал, особенно на западе России и в Беларуси. Лагутский — не «барин» по происхождению, а скорее крестьянин или мещанин, которого прозвали за характер или записали по деревне.

В написании фамилии есть одна особенность: она не имеет варианта через «о» (Лаготский) и редко встречается в северных регионах. Основной ареал — Брянская, Смоленская области, а также восток Украины. Если ваш предок был Лагутским, он с высокой вероятностью происходил из западнорусских или белорусских земель, где «лагодой» называли человека, умеющего всё устроить и наладить.