Фамилия Лебедэва — редкий и показательный случай, когда написание расходится с привычной нормой. Подавляющее большинство носителей фамилии с корнем «лебед-» пишутся через «о»: Лебедев, Лебедева. Вариант «Лебедэва» — это не ошибка, а сознательная или случайная фиксация произношения. В русском языке после твёрдого согласного «д» звук [э] на письме передаётся буквой «е». Но фамилии часто записывали «на слух»: писарь, услышав «Лебедэва», мог вывести именно «э», особенно в документах XIX — начала XX века, когда единые орфографические правила соблюдались нестрого. Такой вариант встречается в южнорусских и украинских говорах, где «е» под ударением звучит как «э» («лэбэдь»).

Основа фамилии — прозвище или мирское имя Лебедь. В дохристианской Руси имена по названиям птиц, зверей и растений были обычны: Лебедь мог получить человек с длинной белой шеей, плавной походкой или светлыми волосами. Позже это прозвище закрепилось за родом. Суффикс «-эв(а)» вместо «-ев(а)» — ещё одна особенность: в некоторых диалектах и приказных документах «э» писалась как вариант «е» после твёрдых согласных, чтобы подчеркнуть твёрдость произношения.

С точки зрения словообразования, это стандартная патронимическая фамилия: от прозвища (Лебедь) с помощью притяжательного суффикса «-ев-» (в орфографическом варианте «-эв-») образовано значение «сын (или дочь) Лебедя». То есть Лебедэва — это буквально «принадлежащая Лебедю». По происхождению фамилия крестьянская или мещанская: в дворянской среде такие «птичьи» фамилии встречались реже, а в среде простых людей мирские имена держались до XVII–XVIII веков.

Сравните с однокоренными фамилиями: Лебедев (самый частый вариант), Лебедкин, Лебедянцев (от топонима Лебедянь), Лебедюк (украинская форма). Лебедэва стоит особняком: она демонстрирует, как живое произношение и местная письменная традиция могут создать устойчивый, но нестандартный вариант фамилии. Географически она тяготеет к югу России и востоку Украины, где «эканье» — обычная черта говоров.

Если вы ищете свои корни, обратите внимание на старые метрические книги и ревизские сказки: в них фамилию могли записывать по-разному — то Лебедева, то Лебедэва, в зависимости от грамотности писаря. Это не две разные фамилии, а орфографические дублеты одного рода.