Фамилия Лебецкая — редкий пример «оттопонимической» фамилии, где основа не имя и не прозвище, а географическое название, причём с неочевидным корнем. Суффикс -ецк- указывает на принадлежность к местности: по модели фамилий вроде Трубецкой (от города Трубчевск) или Елецкий (от Елец). Лебецкая, скорее всего, образована от названия населённого пункта Лебец или Лебецкое. Такие топонимы встречаются на западе и юге России: например, село Лебец в Белгородской области, хутор Лебец в Ростовской, деревня Лебецкая в Архангельской. Основа «леб-» может восходить к диалектному «лебеда» (сорное растение) или к древнерусскому «лебеть» — «лениться, медлить», но первая версия убедительнее: лебеда растёт на пустырях и залежах, так что Лебец — «место, поросшее лебедой».

Форма Лебецкая — женский вариант, мужской — Лебецкий. Такие фамилии типичны для польской и западнорусской шляхты, а также для духовенства, которое часто брало фамилии по названию прихода или села. Если предки были крестьянами, фамилия могла закрепиться после отмены крепостного права в 1861 году, когда бывшим помещичьим крестьянам давали фамилии по месту жительства. География бытования — преимущественно западные и южные регионы России, а также Украина и Беларусь, что подтверждает связь с польско-литовским влиянием.

У фамилии нет связи с птицей «лебедь»: звуковое сходство обманчиво, потому что в основе не «лебедь», а «лебец» — слово с другим корнем. В польском языке существует фамилия Łebiecki (от łeb — «голова, башка»), но русская Лебецкая, скорее всего, не имеет к этому отношения: в русской ономастике суффикс -ецк- чаще указывает на топоним, а не на прозвище. Если ваш предок носил фамилию Лебецкий, он мог происходить из дворянского рода, владевшего землёй в селе Лебец, или быть священником, служившим в Лебецком приходе.