Фамилия Легкодимов — это фонетический вариант более редкой фамилии Легкодым. Разница в написании (и/ы) не меняет сути: обе формы восходят к одному и тому же прозвищу — Легкодым. В его основе лежат слова «лёгкий» и «дым», но вот что именно оно означало — вопрос, на который нет однозначного ответа. Ономастика здесь предлагает несколько версий, и все они по-своему логичны.

Самая прямая гипотеза — бытовая. «Лёгкий дым» мог быть признаком небогатого хозяйства. Если печь топили редко или плохо, дым из трубы шёл слабый, едва заметный. Такое прозвище могли дать человеку незажиточному, у которого «лёгкий» двор — то есть небольшое, скудное хозяйство. В старой Руси «дымом» называли не только продукт горения, но и целое домохозяйство: единицу налогообложения. Отсюда и вторая версия: Легкодымом могли прозвать хозяина, для которого налог «с дыма» (то есть с двора) был лёгкой ношей — иначе говоря, состоятельного человека, платившего без труда.

Есть и третья, менее очевидная линия. Слово «дым» в переносном смысле означало «мечты», «нечто призрачное» (сравните: «развеять как дым»). Тогда прозвище Легкодым могло закрепиться за фантазёром, человеком несерьёзным, «легкомысленным» — в самом прямом значении: с лёгкими, воздушными мыслями.

Какая из версий правдоподобнее? Скорее всего, первая или вторая: прозвища, связанные с имущественным положением или особенностями быта, встречаются в русской антропонимии гораздо чаще, чем поэтические метафоры. Суффикс -ов в фамилии Легкодимов — стандартный патронимический: он указывает на принадлежность потомку человека по прозвищу Легкодым (Легкодим). Так что, независимо от того, каким был ваш предок — бедным, богатым или мечтателем, — фамилия честно сохранила память о его прозвище в одном из фонетических вариантов.