Фамилия Лемягов — редкий пример, где разбор упирается не в очевидное слово, а в диалектный или искажённый корень. Первое, что приходит на ум — связь с «лемехом» (часть плуга), но здесь суффикс -яг- указывает на другую модель.

Основа «Лемяг» скорее всего восходит к прозвищу из северных или уральских говоров. В диалектах «лемяга» (или «лемяк») могли называть неуклюжего, медлительного человека — от глагола «лемяшить» (делать что-то вяло, с ленцой). Суффикс -яг- (как в «бродяга», «работяга») придаёт слову оттенок характерного действия или свойства: Лемяг — тот, кто «лемяжит», то есть копается, мешкает. Такие прозвища давали не в обиду, а по наблюдению за поведением.

Менее вероятная, но допустимая версия — от тюркского «леме» (выступ, кромка) или от финно-угорского географического названия (в Карелии и Архангельской области встречаются топонимы с корнем «лем-»). Однако для прозвища, лёгшего в основу фамилии, диалектная версия убедительнее: она объясняет и суффикс, и бытовую логику именования.

Фамилия Лемягов — отчество второго порядка: сначала было прозвище Лемяг, затем «сын Лемяга» — Лемягов. Суффикс -ов стандартен для центральной России, но сама фамилия географически тяготеет к Вологодчине и Кировской области — именно там фиксируются носители в переписях XIX века. В дворянских родословных книгах она не значится; это фамилия крестьянская, скорее всего, из числа государственных или бывших монастырских крестьян.

Сравнение с однокоренными — Лемяхов, Лемешев, Лемехов — показывает, что «Лемягов» стоит особняком: у него нет прозрачного ремесленного корня (как у Лемешева, от «лемеш» — плуг). Это чисто прозвищная фамилия, где характер предка зашифрован в диалектном слове. Если ваши предки — Лемяговы, можно с большой долей уверенности сказать, что родом они из северной полосы России, а родоначальник получил имя за неторопливость или неловкость — в те времена это были не ругательства, а бытовые ярлыки, которые закреплялись за целыми семьями.