Фамилия Лихай — одна из тех, что ставит перед исследователем интересную задачу: её можно понять как минимум двумя способами, и оба ведут в XVI–XVII века. Слово «лихай» в древнерусском языке — это сравнительная степень от прилагательного «лихой», то есть «более лихой». Но важно помнить, что в те времена «лихой» означало не только «удалой» или «смелый», но и «злой», «опасный», «приносящий беду». Прозвище Лихай могли дать либо отчаянному храбрецу, либо человеку с недобрым нравом, от которого лучше держаться подальше.

С точки зрения словообразования фамилия относится к редкой для русского ономастикона модели. Она не имеет типичных суффиксов -ов, -ев или -ин. Это так называемая «застывшая» форма прозвища в именительном падеже. Такие фамилии (Лихой, Злой, Добрый, Лихай) чаще встречались на юге России, в украинских и белорусских землях, где под влиянием польской традиции прозвище могли записать в документах без изменений, как оно звучало в речи. В северных и центральных областях России такое прозвище почти наверняка превратилось бы в Лихачёв или Лихов.

Есть и другая версия, менее очевидная, но заслуживающая внимания. В некоторых говорах «лихай» могло быть формой глагола «лихать» — лихорадить, болеть. В этом случае прозвище могло закрепиться за человеком, страдавшим от какой-то болезни, или, напротив, за знахарем, который «отлихивал» хворь. Однако эта гипотеза слабее: глагол «лихать» был редок и локально ограничен, тогда как прилагательное «лихой» и его сравнительная степень встречаются в памятниках письменности повсеместно.

Встречаемость фамилии Лихай сегодня невысока. Её носители рассеяны по разным регионам, но чаще всего она фиксируется в южных областях России и на Украине. Это косвенно подтверждает версию о южнорусском происхождении модели. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в казачьих или однодворческих поселениях XVII–XVIII веков — именно там прозвища без суффиксов сохранялись дольше всего.