Фамилия Лиманмкий — один из тех редких случаев, где ошибка в написании почти наверняка закрепилась в документах. Скорее всего, перед нами искажённая форма фамилии Лиманский. В русских метрических книгах, ревизских сказках и советских паспортах нередко путали «н» и «м» на письме, особенно если писарь был малограмотным или работал в спешке. Поэтому первое, что стоит проверить носителю фамилии: не писали ли его предков через «н» — Лиманский.

Если же версия с опечаткой не подтверждается, и фамилия действительно Лиманмкий, то её основа — «лиман». В южнорусских и украинских говорах лиманом называют широкое устье реки, залив, часто с солёной или горько-солёной водой, а также озеро, образовавшееся из такого залива. Слово тюркского происхождения (сравните турецкое liman — «гавань, порт»), оно пришло в русский язык через посредничество крымскотатарского. Фамилия образована по продуктивной модели с суффиксом -ск-ий, который в восточнославянской традиции указывал на принадлежность к местности или владению. Так что Лиманмкий — это человек, живущий у лимана или выходец из селения с названием Лиман или Лиманское.

География фамилии, даже с учётом возможного искажения, привязывает её к регионам, где лиманы — характерная черта ландшафта: побережье Чёрного и Азовского морей, низовья Днепра, Дона, Кубани. Встречаются одноимённые населённые пункты в Одесской, Николаевской, Херсонской областях Украины, а также в Ростовской области России. Предки носителя фамилии могли быть рыбаками, соледобытчиками или крестьянами, чьи наделы располагались на берегах лиманов.

Словообразовательно фамилия проста: корень «лиман-» плюс суффикс «-ск-» и окончание «-ий». Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Лима́нмкий. Встречается и вариант Лима́нский, который фонетически и графически устойчивее. Если в вашем роду закрепилось именно такое, «мкающее» написание, это может быть локальной особенностью письменной фиксации в конкретной волости или станице — своего рода семейный маркер, по которому можно восстановить историю миграций или ошибок переписчиков.