Фамилия Лисицкаая — редкий и, скорее всего, ошибочный или диалектный вариант написания более распространённой фамилии Лисицкая. Двойная «а» в окончании настораживает: в русском языке прилагательные женского рода в именительном падеже имеют окончание -ая, а не -аая. Такое написание могло возникнуть из-за неграмотности писаря, при переписывании документов, или же быть сознательным искажением, чтобы выделиться. Однако если отбросить опечатку, то разбирать нужно исходную форму — Лисицкая.

Эта фамилия образована от прозвища или мирского имени Лисица. В основе лежит слово «лиса» — хитрый, ловкий, изворотливый человек. На Руси звериные прозвища давали не в обиду, а для характеристики: Лисицей могли назвать рыжего, хитрого или просто обладающего острыми чертами лица. Суффикс -ицк- в данном случае — это не польский шляхетский суффикс (как у многих фамилий на -ский), а скорее указание на происхождение от прозвища Лисица. Модель образования проста: Лисица → Лисицкий (чей? принадлежащий Лисице) → Лисицкая (женская форма).

Географически фамилия Лисицкая (и её возможные варианты) встречается по всей Украине, в Беларуси и на юге России. В украинской ономастике фамилии на -ицкий, -ицький особенно характерны для запада и центра страны. Предки носительницы фамилии Лисицкаая могли быть крестьянами или казаками, получившими прозвище за повадки. Никакого дворянского или духовного сословия за этой фамилией, в отличие от фамилий на -ский от географических названий, обычно не стоит.

Сравните с однокоренными фамилиями: Лисицын (от Лисица с суффиксом -ын), Лисовский (от Лис или Лисый), Лисичкин. Лисицкая стоит особняком: она не указывает на сына (как -ин) и не на владельца поместья (как -ский от топонима), а прямо называет человека по прозвищу. Двойное «а» в вашем варианте — это, скорее всего, случайная или намеренная графическая ошибка, но в быту она не меняет ни смысла, ни происхождения фамилии.