Фамилия Лялюева — редкий пример того, как за одной формой могут скрываться прямо противоположные по смыслу объяснения. Всё зависит от того, что считать основой: ласковое домашнее имя или нелестное прозвище.

Самая тёплая версия связывает фамилию с мирским именем Лялюй. В старину «ляля» значило «дитя, ребеночек, младенец». Корень тот же, что и в глаголе «лелеять» — нежить, ласкать, холить. Скорее всего, Лялюем родители называли горячо любимого малыша, которого баловали и о котором заботились. Такое имя-оберег давали, чтобы ребёнок рос здоровым и счастливым.

Но есть и другая, бытовая сторона. В народной речи «ляля» могло означать «разиня, неуклюжий, нерасторопный человек». Тогда Лялюй — это прозвище, указывавшее на рассеянность или медлительность. Такие прозвища закреплялись за взрослыми людьми и переходили к детям уже как фамилия.

Третья версия — фонетическая. Она отталкивается от глагола «лелякать», то есть картавить, не выговаривать «р», заменяя его на «л». В этом случае Лялюем могли прозвать человека с характерным дефектом речи. Версия правдоподобна: прозвища по особенностям произношения в русской ономастике встречаются часто (Картавый, Шепелявый).

Какая из гипотез верна для вашей конкретной ветви — сказать сложно. Словообразовательная модель простая: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?» — Лялюев), то есть потомок Лялюя. Фамилия недворянская, скорее всего крестьянская или мещанская, и географически привязана к центральным и северным губерниям России, где мирские имена держались дольше всего.