Фамилия Люгай звучит редко и не сразу поддаётся разбору. Её происхождение напрямую связано с украинским или южнорусским словом «люга́» — так в диалектах называли сырую, топкую низину, болотистую ложбину или грязь. Человек, получивший прозвище Люгай, скорее всего, жил в такой местности или сам был чем-то похож на неё — например, ходил по грязи, возился с мокрой землёй. Модель образования простая: основа «люг-» плюс суффикс -ай, который в восточнославянских фамилиях встречается нечасто и обычно указывает на прозвищное происхождение, часто с оттенком действия или свойства (ср. Бодай, Дергай, Шагай). Получается, что Люгай — это не «сын Люги», а сам носитель признака, прямое прозвище, позже закрепившееся как фамилия.

Версия, что фамилия восходит к личному имени Люга (уменьшительное от Людмила или Любомир), менее убедительна. Формы с суффиксом -ай для уменьшительных имён нехарактерны — скорее встретишь Люга, Люгушка, но не Люгай. К тому же фамилии на -ай в русском и украинском ономастиконе почти всегда прозвищные, а не от имени. Поэтому топографическое объяснение — через «люгу» — надёжнее.

Географически фамилия Люгай привязана к зоне украинских и южнорусских говоров: Черниговщина, Полтавщина, Курская и Воронежская области. Встречается она негусто, что логично для фамилии, образованной от диалектного слова, которое за пределами этих мест непонятно. Носители фамилии могли быть крестьянами, жившими в низинах у рек или болот, — их прозвище давало соседям точную привязку к месту жительства.

С точки зрения словообразования, фамилия Люгай стоит в ряду таких же «географических» прозвищ, как Болото, Лужков, Мочалов, но отличается редким суффиксом. Если бы фамилия оформлялась по стандартной модели, мы бы получили Люгин или Люгов — но вышло иначе, и это делает её особенно заметной среди однотипных русских фамилий.