Фамилия Люлякова — женская форма фамилии Люляков, и чтобы понять её происхождение, нужно разобраться с мужским вариантом. Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Люляк. Слово «люля» в русских говорах имеет несколько значений, и самое вероятное связано с колыбелью, зыбкой (от тюркского «люля» — «качать», «баюкать»). В диалектах «люлякать» означало «качать, убаюкивать», а «люляка» — нянька или тот, кто укачивает детей. Так могли прозвать заботливого отца, который часто брал на себя эту обязанность, или человека с мягким, спокойным характером.

Модель образования простая: суффикс -ов (в женском роде -ова) присоединился к основе Люляк. Это типичная патронимическая модель — «чей?» — «сын Люляка». В XVI–XVII веках такие фамилии на -ов закрепились в основном за крестьянами и посадскими людьми, поэтому предки Люляковых, скорее всего, были из непривилегированных сословий. Суффикс -ак в прозвище (Люляк) характерен для северных и центральных областей России: он придаёт слову оттенок ласкательности или уменьшительности.

Есть и вторая версия, менее распространённая, но не лишённая оснований. В некоторых южных и западных говорах «люля» могло означать «тюльпан» (через тюркское «лале»). Тогда Люляк — человек, связанный с цветами, возможно, садовод или торговец. Однако эта гипотеза слабее: прозвища от названий цветов встречаются реже, чем от бытовых действий, а суффикс -ак в этом контексте нехарактерен. Более правдоподобно видеть в основе именно «люля» — колыбель.

Географически фамилия Люлякова встречается в основном в центральных регионах России, особенно в Тверской, Ярославской и Владимирской областях — там, где диалектное слово «люля» было в ходу. Встречаются и варианты написания через «ё» — Люлёкова, что связано с местным произношением, но это уже другая ветвь. Если ваши предки носили эту фамилию, они жили в крестьянской среде, и прозвище Люляк, скорее всего, дали человеку, который любил или умел убаюкивать — либо по работе, либо по характеру.