Фамилия Маймаева — женская форма от Маймаев, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Суффикс -ев указывает на модель образования от основ на мягкий согласный или на -й. В данном случае основа — Маймай, что сразу отсылает нас не к русским, а к тюркским или кавказским языкам, где слово «майма» или «маймай» имеет конкретное значение.

Самая вероятная версия: фамилия происходит от тюркского слова «майма» — «обезьяна». В тюркских языках (особенно в кумыкском, ногайском, карачаево-балкарском) это слово могло быть прозвищем. Прозвище давали либо за внешнее сходство (подвижность, мимика, ловкость), либо за поведение — кривляние, баловство. В ономастике такие «зооморфные» прозвища встречаются повсеместно, и они не обязательно носили унизительный оттенок: в кочевой культуре обезьяна была редким, диковинным зверем, и прозвище могло означать «необычный, забавный».

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование: от имени Маймай, которое могло быть уменьшительной формой от мусульманских имён (например, Магомед, Майрам). В некоторых тюркских диалектах «май» означает «жир», «масло», а «майма» — «маслёнок» или «жирный». Но это скорее домысел, так как документальных подтверждений такой антропонимической модели нет.

Географически фамилия Маймаева встречается в основном на Северном Кавказе: в Дагестане, Чечне, Ингушетии, а также среди карачаевцев и балкарцев. Встречаются носители в Кабардино-Балкарии и в среде казахов. В русских документах фамилия фиксируется с XIX века, когда горцам начали массово присваивать фамилии по отцу или по прозвищу. Крестьянского или дворянского сословия здесь нет — это фамилия, типичная для свободных общинников и воинов.

Интересная деталь: в старых записях фамилию могли писать по-разному — Маймаев, Маймайев, Маймай. Двойное «ай» на конце основы (Маймай) не редкость для тюркских прозвищ, а русский суффикс -ев просто прикрепили к готовой основе. Если ваш предок носил фамилию Маймаев, скорее всего, он происходил из горного аула, где его прадеда прозвали «обезьяной» за живость или необычную внешность — и прозвище закрепилось как родовое имя.