Фамилия Маз — редкий случай, когда угасание первоначального смысла оборачивается ростом числа версий. Самая неожиданная из них связывает фамилию с еврейской аббревиатурой «ми-зера Ахарон ха-кохен» — «из семени Аарона-первосвященника». Такие сокращённые фамилии (нотариконы) действительно встречаются у ашкеназских евреев, но в случае с Маз это скорее гипотеза, чем установленный факт: слишком короткое сочетание букв, допускающее много прочтений.

Гораздо надёжнее славянская линия. Фамилия Маз — это усечённая форма от прозвища Мазий, которое в Малороссии (современная Украина) давали по двум разным поводам. Первый — профессиональный: мазием называли того, кто мажет, то есть художника или маляра. Второй — бытовой: так могли прозвать неряшливого, неопрятного человека, а иногда и избалованного ребёнка. Глагол «мазать» в крестьянском быту имел и другие прикладные значения: смазывать колёса телеги дёгтем, обмазывать стены глиной. Поэтому прозвище Мазий могло закрепиться за любым мастером, чья работа связана с нанесением состава на поверхность.

Словообразовательная модель проста: от прозвища Мазий отсекли суффикс -ий, оставив чистую основу Маз. Такое усечение — не редкость для украинских и белорусских фамилий, где короткие формы нередко вытесняли полные. Географически фамилия Маз встречается в основном на западе Украины и в соседних областях Беларуси, что подтверждает её малороссийское происхождение.

Других версий, достойных серьёзного разбора, нет. Гипотеза о связи с польским «maz» (муж) или с немецким «Maß» (мера) лингвистически слаба и не подкреплена ареалом бытования фамилии. Так что если ваши предки носили фамилию Маз, скорее всего, среди них был либо маляр, либо человек с простоватой внешностью — и то, и другое в XIX веке не считалось обидным, а просто фиксировало заметную черту.