Фамилия Медаев — одна из тех, где ясна модель образования, но спорна исходная основа. По составу это типичная патронимическая фамилия на -ев, то есть образована от имени или прозвища, которое заканчивалось на мягкий согласный или на -й. Если бы основа оканчивалась на твёрдый согласный, мы бы имели вариант Медадов. Суффикс -ев указывает на принадлежность: Медаев буквально значит «сын Медая».

Ключевой вопрос — что такое «Медай». Самая простая и вероятная версия — это вариант крестильного имени Мефодий. В народной речи это имя нередко сокращали и адаптировали: Мефодий превращался в Меда, Медая, отсюда и фамилия. В пользу этой версии говорит то, что имена через форму -ай (как Мефодий → Медай) давали множество фамилий: Тишай, Лаврушай, Прокопай. Имя Мефодий, хоть и не было самым частым, встречалось в церковной среде и в крестьянском быту.

Вторая версия — тюркская. В ряде тюркских языков есть слово «медай» или близкие к нему формы, означающие «хвала», «слава» или «похвала». В таком случае фамилия могла возникнуть у народов Поволжья или Северного Кавказа, где подобные имена-пожелания были обычны. Однако в русских фамилиях тюркский корень чаще даёт вариант Медаев, а не Медаков или Медатов, что тоже косвенно указывает на имя, а не на прозвище.

Географически фамилия Медаев редкая. В дореволюционных источниках она не фиксируется как распространённая дворянская или купеческая — скорее всего, это фамилия крестьянского или мещанского сословия. Встречается в основном в центральных областях России и в Поволжье, что не противоречит обеим версиям: и греческое имя Мефодий, и тюркское имя Медай были там возможны.

Таким образом, наиболее правдоподобно, что Медаев — это «сын Медая», а Медай — народная форма имени Мефодий. Тюркская версия не исключена, но для её подтверждения нужны конкретные региональные записи, которых пока нет в открытых источниках.