Фамилия Медаева — женская форма, парная к мужской Медаев. В её основе лежит прозвище или некалендарное имя Медай. Чтобы понять, откуда оно взялось, нужно разобрать корень и суффикс.

Суффикс -аев типичен для фамилий, образованных от имён или прозвищ на -ай (ср. Бекетай → Бекетаев, Толмай → Толмаев). В данном случае основа — Медай. Это имя могло быть тюркским по происхождению. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) слово «мед» или «меде» означает «знание», «учёность», «смысл». Имя Медай могло даваться ребёнку с пожеланием ума и мудрости. Вторая версия, менее вероятная, но возможная: связь с диалектным русским словом «медяй» — так в некоторых говорах называли медлительного, копотливого человека.

Географически фамилия Медаев (Медаева) встречается в Поволжье, особенно среди татар и башкир, а также в среде русских, долго живших в контакте с тюркскими народами. Это не дворянская фамилия — по сословному составу её носители чаще всего были крестьянами или мещанами. В документах XVIII–XIX веков следы фамилии можно найти в Казанской и Оренбургской губерниях.

Таким образом, фамилия Медаева скорее всего восходит к тюркскому имени с корнем «знание/ум». Если ваши предки были из Поволжья или Южного Урала, велика вероятность, что они носили это имя как личное прозвище, которое затем закрепилось за родом.