Фамилия Меляшова — женская форма фамилии Меляшов, а та, в свою очередь, образована от прозвища или имени Меляш. Основа здесь — корень «мел-», который в русских говорах многозначен. Самая прямая версия: Меляш — это человек, связанный с размолом зерна, то есть мельник или работник на мельнице. Суффикс «-яш» типичен для северных и северо-западных русских говоров (сравните: Гуляш, Кузяш, Поздяш) и придаёт прозвищу оттенок уменьшительности или принадлежности. То есть Меляш могло быть и ласкательным именем от Мелентий (церковное имя Мелентий, в просторечии Меля).

Есть и вторая, менее вероятная версия: в некоторых диалектах «меля» означало человека медлительного, «мелющего ерунду» или болтуна. Но первая, «мельничная», выглядит убедительнее, поскольку фамилии с «мельничным» корнем (Мельников, Мельничук, Меляков) очень распространены, и Меляшов встаёт в тот же ряд, но с редким суффиксом.

Географически фамилия тяготеет к северу и северо-востоку европейской части России — Вологодской, Архангельской, Кировской областям. Там суффикс «-яш» встречается чаще, чем в средней полосе. Если ваши предки Меляшовы оттуда, то они почти наверняка были либо мельниками, либо крестьянами, жившими при мельнице. В других регионах фамилия встречается редко, что делает её хорошим маркером для поиска корней.

Словообразовательная модель проста: основа Меляш + патронимический суффикс -ов (чей? — Меляшов). Женская форма Меляшова — стандартное склонение для русских фамилий. Важно: фамилия не дворянская, не княжеская, а типично крестьянская или мещанская, что подтверждается её «ремесленным» корнем. Никаких спорных версий с тюркскими или финно-угорскими корнями здесь нет — основа чисто славянская и прозрачная.