Фамилия Минькашева — женская форма, а её мужской вариант — Минькашев. С точки зрения словообразования это типичная русская фамилия, образованная с помощью патронимического суффикса -ев, который присоединяли к основам, оканчивающимся на мягкий согласный или шипящий. В данном случае основа — Минькаш.

Самая вероятная версия происхождения — от имени или прозвища Минькаш. Имя Минька — это уменьшительно-ласкательная форма от канонического имени Мина (церковное Мина, от греческого «месяц») или от Дмитрий (народная форма Митя, Минька). Суффикс -аш в прозвищах и некалендарных именах характерен для русской народной традиции: он мог придавать оттенок ласкательности или, наоборот, указывать на какую-то особенность человека (сравните: Ермаш, Иваш, Петраш). Таким образом, Минькаш — это, скорее всего, человек, которого в быту звали Минькой, но с дополнительным суффиксальным оформлением.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с тюркскими языками. В татарском и башкирском языках есть корень «мин» («родинка», «знак»), а слово «каш» означает «бровь». Прозвище Минькаш могло описывать человека с родинкой над бровью или с особой приметой на лице. Однако для фамилии с русским суффиксом -ев и характерным для русской ономастики суффиксом -к- (Минька) эта версия выглядит менее убедительной.

Географически фамилия Минькашев (и Минькашева) встречается преимущественно в Поволжье и на юго-востоке европейской части России — в Самарской, Оренбургской, Саратовской областях, а также в Татарстане. Это регионы, где исторически плотно пересекались русские и тюркские традиции именования, что могло дать двойную основу для прозвища.

Социальный контекст: суффикс -ев указывает на то, что фамилия оформлялась в среде, где было принято именование по отцу (Минькашев — сын Минькаша). Скорее всего, предок носителя фамилии был крестьянином или посадским человеком, не принадлежавшим к высшему сословию, так как фамилии на -ов/-ев в центральной России закрепились в основном у непривилегированных слоёв населения в XVII–XIX веках.