Фамилия Миткевич напрямую отвечает на вопрос, чьим сыном был её первый носитель. Это классическая фамилия-патроним, образованная от имени Митко или Митька — просторечной, обиходной формы крестильного имени Дмитрий. В таком виде имя бытовало в Беларуси, где суффикс -ко/-ка традиционно использовали для образования уменьшительных форм. К основе Митк- добавили типичный для западных славянских земель суффикс -евич, указывающий на родство и наследование: Миткевич — буквально «сын Митьки», потомок того, кого в семье звали Митко.

Само имя Дмитрий пришло на Русь вместе с христианством из Византии. В греческом оригинале оно звучит как Деметриос и означает «посвящённый Деметре», богине земледелия и плодородия в античном пантеоне. Так что в далёкой перспективе каждый Миткевич несёт в своей фамилии отголосок древнегреческого мифа, хотя сам носитель фамилии, разумеется, ни о какой языческой богине не думал, когда его предка записывали в церковные книги.

Интересно, что фамилия закрепилась именно за потомками Митьки, а не самого Дмитрия, и это характерная черта славянского имяобразования: от полной формы имени фамилии появлялись позже и чаще в дворянской или городской среде, тогда как крестьянские и мещанские патронимы охотно цеплялись за домашние, сокращённые варианты. Миткевич — фамилия, которая звучит по-белорусски и по-польски одновременно, что отражает сложную историю земель, где белорусский и польский языки веками соседствовали. Подобная модель с суффиксом -евич характерна для фамилий, возникших на территории Великого княжества Литовского, куда входила и Беларусь.

Встречается фамилия и в несколько ином написании — Миткович, но форма Миткевич более распространена. Если ваш предок носил эту фамилию, его прародитель, скорее всего, был крещёным человеком с именем Дмитрий, которого в быту звали Митькой, и жил он, вероятнее всего, в белорусских или западнорусских землях.