Фамилия Митковский образована по самой распространенной в польской и западнорусской ономастике модели — от имени или прозвища с помощью суффикса -ский, который указывал на принадлежность к местности или роду. Основа здесь — Митко, краткая форма от имени Дмитрий. В старину Дмитрия в быту часто называли Митя, а уменьшительно-ласкательные варианты давали Митка, Митко. Именно форма Митко, характерная для украинских и белорусских говоров, и легла в основу фамилии.

Суффикс -ский в фамилиях такого типа обычно имел двоякое значение. В Польше и на землях Речи Посполитой он чаще всего указывал на дворянское происхождение или владение поместьем: Митковский — «тот, кто из поместья Митково» или «сын Митка». В то же время на восточнославянских территориях, особенно после разделов Польши, эту модель могли перенимать и крестьяне, и мещане, просто следуя моде на «панские» окончания. Поэтому однозначно говорить о шляхетском происхождении носителей фамилии Митковский нельзя: географический разброс слишком широк.

Фамилия отчетливо тяготеет к западным регионам: встречается в Беларуси, на Украине (особенно на Волыни и в Подолье), а также в Польше. В России Митковские — это чаще всего потомки переселенцев с этих земель. Редкость фамилии в том, что она сохранила именно южнорусскую и белорусскую форму имени Митко, а не более привычную Митька. Если бы предка звали Митька, фамилия звучала бы как Митьковский — и она действительно существует, но Митковский встречается реже и указывает на более узкий ареал бытования исходного прозвища.

Итак, прямой ответ: предок носителя фамилии Митковский скорее всего носил имя Митко (форма Дмитрия) и жил на территории современной Беларуси, Западной Украины или восточной Польши. Фамилия могла возникнуть и как указание на место жительства (деревня Митково), и как отчество по отцу (Митков сын). Дворянский статус возможен, но не обязателен — суффикс -ский в XIX веке активно присваивали и непривилегированные сословия.