Прямого и единственного объяснения у фамилии Муслаков нет, но почти все версии сходятся к одному корню — прозвищу Муслак. В народных говорах так называли человека, который «муслит», то есть слюнит, сосёт, пачкает слюной. Отсюда переносное значение: беззубый старик, которому трудно жевать, или тот, кто говорит невнятно, будто держит во рту кашу. В некоторых регионах Муслаком дразнили неопрятного, вечно мокрого ребёнка или вялого, медлительного взрослого. Как видите, прозвище ёмкое: оно могло указывать и на физический недостаток, и на манеру поведения.

Фамилия образована по простой и очень распространённой модели: к основе Муслак добавили типичный русский суффикс принадлежности -ов. Такой суффикс в древности означал «сын такого-то» или «из семьи такого-то». То есть Муслаков — это буквально «сын Муслака», потомок человека с этим прозвищем. Подобные фамилии массово складывались в XV–XVII веках, когда крестьян и горожан в документах начинали записывать не только по имени, но и по прозвищу отца.

Интересно, что у фамилии есть «родственники» по словообразовательной модели: Муслин, Мусолин, Мусолов. Все они восходят к тому же глаголу «муслить» или его варианту «мусолить». Впрочем, не исключено и другое прочтение основы. В некоторых говорах слово «муслак» означало кость, особенно крупную, выступающую — например, лодыжку или сустав. Тогда прозвище могли дать человеку с заметной костью, ширококостному или высокому. Эта версия менее известна, но тоже имеет право на существование, хотя глагольное происхождение выглядит убедительнее: оно лучше объясняет переносный смысл прозвища.

Отдельного внимания заслуживает написание. В старых документах фамилию могли записать как Мусляков — от формы «мусляк», которая тоже встречалась в говорах. Со временем написание закрепилось в современном виде, но в архивных записях предков можно найти оба варианта. Это стоит учитывать, если будете искать своих Муслаковых в метрических книгах или ревизских сказках.

Сама фамилия распространена преимущественно в центральной России и Поволжье — регионах, где говоры сохранили глагол «муслить» и его производные. Однако точной географической привязки к одному уезду или губернии у неё нет: прозвище было обиходным и встречалось повсеместно. Так что Муслаковы — это, скорее всего, потомки крестьян или посадских людей, которых в своё время отличали по характерной привычке, внешности или манере речи.