Фамилия Остановский почти наверняка связана не с «остановкой», а с украинским словом «останній» — «оставшийся, последний». Так в старину могли прозвать последнего ребёнка в семье или же последнего поселенца, примкнувшего к уже обжитому месту. Прозвище закреплялось за человеком, а его дети и внуки уже носили отчество-фамилию Остановский.

Менее вероятна, но возможна связь с народной формой христианского имени Евстафий. Это имя восходит к древнегреческому «eustatos» — «устойчивый, постоянный, крепкий, уравновешенный, здоровый». В России XVI–XVII веков преобладало написание с начальным «о», поэтому от Евстафия пошли «окающие» формы: Остафий, Остах, Осташка, Осташко, Останя. В «акающих» говорах те же формы звучали как Астафий, Астах, Астаня. Имя было нередким, и от него возникло множество производных фамилий — Осташев, Остахов, Останков и другие. Остановский могло бы встать в этот ряд, но переход от «Останя» к «Остановский» менее естественен, чем прямое образование от «останній».

Суффикс -ский указывает на географическую или сословную модель: так часто образовывали фамилии на украинских и польских землях, где «пан Остановский» означало «человек из Останова» или «владелец Останова». Если держаться этой версии, фамилия могла возникнуть от названия села или хутора Останов, а прозвище первого Остановского — уже вторично, по месту жительства. Но для малороссийских говоров версия с «останній» проще и ближе к бытовой логике: прозвища по старшинству детей встречались повсеместно.

Документальных свидетельств о ранних носителях фамилии Остановский в открытых источниках немного, и это нормально для фамилии с локальным распространением. Если ваши предки носили её на Украине или в южнорусских губерниях, скорее всего, они происходили из крестьян или казаков, а фамилия закрепилась за их родом в XVII–XIX веках. Точную версию для конкретной семьи можно проверить только по архивным метрикам и ревизским сказкам — там видно, как писалась фамилия из поколения в поколение и в какой местности жили предки.