Фамилия Папша — редкий случай, когда прозвище перешло в наследственное имя почти без изменений, не обрастая типичными суффиксами -ов, -ин или -ский. Основа здесь — само слово «папша». В диалектах русского языка им называли человека, который много и попусту болтает, пустомелю. Сравните с глаголом «папшить» — говорить вздор, молоть чепуху. Так что первый и самый прямой вариант: предок носителя фамилии получил прозвище за привычку к пустым разговорам.

Но есть и вторая версия, географическая. В южнорусских и украинских говорах «папша» — это кукуруза (от румынского или молдавского papușoi). В этом случае прозвище могло закрепиться за крестьянином, который торговал кукурузой, выращивал её или, наоборот, слишком любил есть. Такое объяснение особенно вероятно для территорий бывшего Дикого поля, современных Белгородской, Воронежской областей, а также для Молдавии и Приднестровья.

Модель образования фамилии — безсуффиксная, что нетипично для русской ономастики. Обычно так оформляли прозвища в среде казачества или однодворцев, где фамилии долго оставались неформальными и не проходили через бюрократическую унификацию. Папша — это как раз «застывшее» прозвище, которое не стали переделывать в Папшин или Папшев, а оставили в исходной форме. Поэтому по фамилии трудно определить сословие предка: так могли назвать и вольного крестьянина, и мещанина, и казака.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» эта фамилия не выделена отдельно, но её механизм полностью соответствует разряду прозвищных фамилий, образованных от нарицательных существительных без дополнительных формантов. Такие фамилии чаще встречаются на юге России и в Белоруссии, где влияние церковнославянской традиции именования было слабее. Если ваш предок — Папша, то, скорее всего, он жил в чернозёмной полосе или в казачьих областях, и его прозвище либо высмеивало болтливость, либо указывало на занятие кукурузой.