Фамилия Парунова образована от прозвища Парун, и это почти наверняка женская форма: так записывали жену или дочь Паруна, а в современных документах фамилия закрепилась за женщинами без изменения окончания. Мужской вариант — Парунов.

Основа прозвища — нарицательное «парун». В южнорусских и украинских говорах так называли зной, жару, солнцепек, а также жаркий день после дождя, когда воздух становится влажным и душным. Слово родственно глаголу «парить» и существительному «пар» — то есть буквально парун — это время, когда земля парит после ливня. Прозвище Парун могли дать ребенку, родившемуся в такую погоду, — по народной традиции детей нередко называли по дню или обстоятельствам появления на свет. Но возможен и другой путь: прозвище могло закрепиться за взрослым человеком с горячим, вспыльчивым нравом — «горячим», как парун. Вторая версия правдоподобнее для прозвищ, которые давали не младенцам, а людям уже в зрелом возрасте, но обе имеют право на существование.

Словообразовательная модель простая и типичная для русских фамилий: суффикс -ов/-а присоединялся к основе прозвища, образуя притяжательное прилагательное «Парунов», то есть «сын Паруна». Такая модель в XV–XVII веках массово вытесняла старые прозвища и закреплялась за потомками. Фамилия Парунова встречается преимущественно в тех регионах, где слово «парун» было в ходу, — на юге России, в Поволжье и на Украине, хотя в документах XIX века носители фамилии рассеяны шире.

Редкость фамилии объясняется тем, что диалектное слово не вошло в литературный язык, а в северных говорах, где формировалась значительная часть русских фамилий, его не знали. Однокоренные фамилии — Парунов, Парин, Паринов — встречаются чаще, но все они восходят к той же основе. В написании фамилии иногда путают с отчеством от имени Парфён (Парфёнов), но это разные корни: у Паруновых нет ничего общего с греческим именем Парфений, означающим «девственный».

Итог простой: фамилия Парунова — редкий пример того, как погодное явление стало личным прозвищем, а затем и родовым именем. Предки носителей фамилии жили в местности с жарким летом, и либо сам Парун родился в душный день, либо окружающие подметили в нем сходство с палящим зноем.