Фамилия Парунова образована от прозвища Парун. Оно ведет свое начало от аналогичного нарицательного, которое в некоторых областях употребляется в значении «зной, жара, солнцепек: жаркий день после дождя». Вполне возможно, что прозвище Парун родители дали своему сыну, родившемуся в такую погоду. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Парун, со временем получил фамилию Парунова.